una función convexa una función real es convexa en un intervalo, si la cuerda que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la función queda por encima de la función.

HACIA ARRIBA

Una curva que se abre hacia arriba, o una curva que se dobla hacia arriba en forma de taza, se dice que es cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo, dependiendo de la dirección en la que se abre o se dobla la curva . 

Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.

 Sea f diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si f´ es creciente en ese intervalo

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual nos dará los puntos de inflexión.

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa

Esto ultimo nos dice que f(x) no tiene intervalos donde es convexa y es cóncava en (0, ∞)

Luego procedemos a obtener los puntos donde la segunda derivada se anula, lo cual

nos dará los puntos de inflexión

Esto ultimo nos dice que  f(x) es convexa en (- ∞, 0)U(0,  ∞) y no tiene intervalos de concavidad.

Ejercicio 2

Encontrar los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

Primero notemos que el dominio de la función es D= R- 0. Ahora utilizaremos el criterio de concavidad-convexidad de la segunda derivada, el cual nos dice que la que función será convexa en los intervalos donde la segunda derivada sea positiva y será cóncava en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa.

Primero procedemos a obtener la segunda derivada 

Finalmente, analizamos en que intervalos la segunda derivada es positiva o negativa